Pascal Remy

La détermination dans le plan complexe des solutions formelles de nombreux systèmes dynamiques tels que les équations différentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles (linéaires ou non, perturbées ou non), les équations aux différences, les équations aux *q*-différences, etc… conduit souvent à la manipulation de séries *divergentes*. La *théorie de la (multi)-sommabilité* \[Balser, Malgrange, Ramis, Sibuya…\] permet alors de « sommer naturellement » ces séries dans différentes directions et de définir ainsi de vraies solutions analytiques. Dans le cas particulier des systèmes (ou équations) différentielles linéaires à coefficients méromorphes à l’origine et dont 0 est un point *singulier irrégulier*, les sommes des solutions formelles définissent des solutions analytiques dans des secteurs de sommets 0. La comparaison de ces sommes de part et d’autre de directions dites *singulières* permet alors de mettre en lumière le *phénomène de Stokes* du système, *i.e.*, le fait que les solutions analytiques qu’elles définissent ne sont pas nécessairement prolongement analytique l’une de l’autre. Ce défaut d’analyticité est alors mesurer à l’aide d’un système complet d’invariants analytiques \[Ramis\] appelés *matrices de Stokes-Ramis*. Une approche « duale » de ce phénomène est fournie par la *théorie de la résurgence* \[Ecalle\]. Celle-ci consiste à étudier les prolongements analytiques des *transformées de Borel* des solutions formelles et à en analyser les *singularités* à l’aide du *calcul différentiel étranger*. Les *dérivations étrangères* qui en résultent fournissent alors un autre système complet d’invariants analytiques du système, « dual » de celui des matrices de Stokes-Ramis. Au niveau du calcul effectif de ces invariants analytiques, il s’agit essentiellement de calculer les *multiplicateurs de Stokes* (*i.e.*, les coefficients non triviaux des matrices de Stokes-Ramis) ou, de façon théoriquement équivalente, les *constantes de connexion* liées aux dérivations étrangères dans le plan de Borel. Ces calculs sont essentiels pour un certain nombre d’applications importantes telles que le calcul des groupes de Galois différentiels ou la preuve de la non-intégrabilité de certains systèmes dynamiques \[Morales-Ramis\]. Cette étude des systèmes (ou équations) différentiels linéaires, combinant à la fois l’approche « sommabilité » et l’approche « résurgence », s’étend aux cas non linéaires \[Braaksma, Costin, Sibuya…\] ainsi qu’à une vaste classe de systèmes dynamiques comme les systèmes différentiels singulièrement perturbés \[Canalis-Durand, Ramis…\], les équations aux dérivées partielles \[Balser, Costin, Malek, Sauzin…\], les équations aux différences \[Braaksma, Faber, Sauzin…\], etc… Mes intérêts actuels de recherche sont : 1. Théorie de la sommabilité, sommation des séries divergentes. 2. Théorie de la résurgence. 3. Systèmes différentiels linéaires méromorphes, en particulier : - théorie analytique, - phénomène de Stokes, - relations entre multiplicateurs de Stokes et constantes de connexion dans le plan de Borel, - calcul effectif des multiplicateurs de Stokes, - calcul d’erreur. 9. Perturbation holomorphe. 10. Equations aux dérivées partielles.

La détermination dans le plan complexe des solutions formelles de nombreux systèmes dynamiques tels que les équations différentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles (linéaires ou non, perturbées ou non), les équations aux différences, les équations aux *q*-différences, etc… conduit souvent à la manipulation de séries *divergentes*. La *théorie de la (multi)-sommabilité* \[Balser, Malgrange, Ramis, Sibuya…\] permet alors de « sommer naturellement » ces séries dans différentes directions et de définir ainsi de vraies solutions analytiques. Dans le cas particulier des systèmes (ou équations) différentielles linéaires à coefficients méromorphes à l’origine et dont 0 est un point *singulier irrégulier*, les sommes des solutions formelles définissent des solutions analytiques dans des secteurs de sommets 0. La comparaison de ces sommes de part et d’autre de directions dites *singulières* permet alors de mettre en lumière le *phénomène de Stokes* du système, *i.e.*, le fait que les solutions analytiques qu’elles définissent ne sont pas nécessairement prolongement analytique l’une de l’autre. Ce défaut d’analyticité est alors mesurer à l’aide d’un système complet d’invariants analytiques \[Ramis\] appelés *matrices de Stokes-Ramis*. Une approche « duale » de ce phénomène est fournie par la *théorie de la résurgence* \[Ecalle\]. Celle-ci consiste à étudier les prolongements analytiques des *transformées de Borel* des solutions formelles et à en analyser les *singularités* à l’aide du *calcul différentiel étranger*. Les *dérivations étrangères* qui en résultent fournissent alors un autre système complet d’invariants analytiques du système, « dual » de celui des matrices de Stokes-Ramis. Au niveau du calcul effectif de ces invariants analytiques, il s’agit essentiellement de calculer les *multiplicateurs de Stokes* (*i.e.*, les coefficients non triviaux des matrices de Stokes-Ramis) ou, de façon théoriquement équivalente, les *constantes de connexion* liées aux dérivations étrangères dans le plan de Borel. Ces calculs sont essentiels pour un certain nombre d’applications importantes telles que le calcul des groupes de Galois différentiels ou la preuve de la non-intégrabilité de certains systèmes dynamiques \[Morales-Ramis\]. Cette étude des systèmes (ou équations) différentiels linéaires, combinant à la fois l’approche « sommabilité » et l’approche « résurgence », s’étend aux cas non linéaires \[Braaksma, Costin, Sibuya…\] ainsi qu’à une vaste classe de systèmes dynamiques comme les systèmes différentiels singulièrement perturbés \[Canalis-Durand, Ramis…\], les équations aux dérivées partielles \[Balser, Costin, Malek, Sauzin…\], les équations aux différences \[Braaksma, Faber, Sauzin…\], etc… Mes intérêts actuels de recherche sont : 1. Théorie de la sommabilité, sommation des séries divergentes. 2. Théorie de la résurgence. 3. Systèmes différentiels linéaires méromorphes, en particulier : - théorie analytique, - phénomène de Stokes, - relations entre multiplicateurs de Stokes et constantes de connexion dans le plan de Borel, - calcul effectif des multiplicateurs de Stokes, - calcul d’erreur. 9. Perturbation holomorphe. 10. Equations aux dérivées partielles.